|
«Ты, Моцарт, недостоин сам себя...». Этот упрек добросовестный математик Сальери, тщетно пытавшийся поверить гармонию алгеброй, мог бы с досады бросить и Пьеру Ферма, если бы тот родился века на полтора позже, и не в Бомон-де-Ломань, а где-нибудь в Зальцбурге. К своим гениальным прозрениям француз относился с истинно моцартовской беспечностью. Одно из них он записал на полях «Арифметики» Диофанта Александрийского, которую любил почитывать на досуге между занятиями юриспруденцией. Формула с виду ясная, как улыбка младенца: xn + yn = zn. Если степень n = 2, то можно подобрать целые числа, отвечающие этому равенству. К примеру, 32 + 42 = 52 или 62 + 82 = 102 и т. д.
Именно так выглядит известная всякому двоечнику теорема Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), открытая примерно за 22 века до того, как французский юрист отвлекся от наскучившего ему гражданского права. Довольно странно, что за столь долгий срок никто из ученых мужей всерьез не поинтересовался: а что будет, если n больше 2? Существует ли и при возведении в степень какой-то закон, которому подчинялись бы целые числа?
Оказалось, что существует. Его и записал 35-летний Ферма в 1636 году на одной из страниц любимой им монографии: при n>2 данное уравнение в целых числах не имеет решений. И ниже добавил: «Я располагаю поразительным доказательством, но оно слишком велико, чтобы разместить его на полях».
Если бы знал он (а может, и знал?), какие последствия для потомков будет иметь его легкомысленная приписка. Сколько высоких лбов расшибутся об эту непоколебимую формулу, пытаясь ее доказать или опровергнуть. Она искушала своей неслыханной простотой, заманивая пытливые умы в пучину Вселенной — в бесконечные числовые ряды, откуда многие не возвращались назад. Только советской психиатрии известны тысячи случаев помешательства на доказательствах теоремы Ферма, а сколько всего хороших и разных людей заплутало в ее лабиринтах за три с половиной века?
У него было библейское имя — Иосиф. Он жил с мамой в нашем микрорайоне, на улице имени другого гиганта мысли — Циолковского. За все годы моего детства и юношества, которые довелось мне его наблюдать, Иосиф не проронил ни слова. Мама не отпускала его ни на шаг. Часто гуляли они по Иртышской набережной, где сходятся все параллельные омских судеб. Иосиф в упор не замечал никого. Он шел под ручку с маленькой мамой, уставясь во что-то простым смертным не видимое. Другая рука его двигалась непрерывно по странной эллиптической траектории, заворачивая за спину…
Позже узнал, что в юности подавал он большие надежды, учась на матфаке пединститута. Похоронила их теорема Ферма. Толстую папку с ее доказательством принес он еще студентом в ОГПИ. Ученый совет отправил ее на экспертизу в столицу, и там обнаружилось какое-то несоответствие…
Не разгадали тайну великой формулы даже «короли математики всех времен» Гаусс и Эйлер. Первый нашел доказательство для третьей и четвертой степеней переменных, второй — для пятой, их последователь Дирихле — для седьмой. К началу XX века ученый мир продвинулся до сотой ступеньки, затем — до 619-й. И сами доказательства походили на небоскребы, но небо оставалось, как и прежде, вдали, поскольку степеней в формуле — бесконечное множество и надо найти одно решение для всех.
Его предъявил математическому сообществу в 1955 году 28-летний Ютака Танияма. На международном симпозиуме в Токио он выдвинул невообразимое доказательство, используя так называемые модулярные формы. Это фигуры, имеющие четыре измерения, которые мы с вами с нашими трехмерными мозгами едва ли можем представить себе. К тому же обладают они необыкновенной симметрией. Сдвигай их в любом направлении, поворачивай как угодно, меняй местами фрагменты, зеркально отражай и так далее, при этом вид их ничуть не изменится. Так вот, пытался доказать Танияма не саму теорему Ферма, а то, что модулярным функциям соответствуют кривые обычных эллипсов, которые можно разложить в нормальный числовой ряд.
Однако коллеги его не поняли, и через три года гениальный японец, следуя самурайским традициям, покончил с собой. Он был не первым, кого проклятая загадка Ферма — да, будь она в этих случаях проклята — довела до такого шага. Втянула в себя эта черная дыра многих несчастных разных стран и времен, чьи имена остались безвестными. Потуги их вызывали только насмешки. В респектабельных научных кругах людей, одержимых многострадальной теоремой, презрительно зовут «ферматистами». Они, по сути, из той же породы, что и чудики Шукшина, изобретавшие вечные двигатели.
Но есть тут принципиальная разница. Идея perpetuum mobile изначально безумна или невежественна, она восстает против законов природы и всего опыта человечества. А теорема Ферма подтверждается им, хотя попытки ее опровергнуть предпринимались неоднократно, особенно после появления в мире компьютеров. Но ни один из них не смог подобрать три целых числа, при которых выполнялось бы равенство xn + yn = zn, если, конечно, n > 2…
В 1995 году, через 40 лет после выступления Таниямы на токийском симпозиуме, авторитетный журнал «Анналы математики» опубликовал доказательство его гипотезы, осуществленное профессором Эндрю Уайлсом (штат Нью-Джерси, США) и его коллегой из Оксфорда Ричардом Тейлором. Ранее немцем Герхардом Фреем было доказано, что, если гипотеза Таниямы верна, она, в свою очередь, может служить доказательством великой теоремы Ферма. Однако точка в колоссальном труде, которому журнал посвятил целый номер (свыше сотни печатных листов), еще не точка в ее истории.
Тайна простой гармонической формулы остается по сей день неразгаданной. О чем умолчал лукавый француз? Что он имел в виду под «поразительным доказательством», для которого хватило бы места, окажись поля «Арифметики» чуть пошире? Все что угодно, но не модулярные функции — о них, открытых в XIX веке, Пьер и понятия не имел.
Недавно Геттингенское научное общество объявило, что ждет неоспоримое доказательство. И тот, кто предъявит его, получит приз, завещанный в 1907 году немецким любителем математики Вольфскелем. На 100 тысяч марок, надо полагать, за век набежали неплохие проценты… Три месяца назад академик Капица в своей нестареющей передаче сказал, что доказательство теоремы Ферма — одна из главных задач XXI века. И если решение ее будет найдено, оно встанет в ряд с изобретением атомной бомбы и освоением человечеством космоса.
Космосом всю сознательную жизнь поcле Томского университета занимается академик Ильин. До недавних пор был генеральным конструктором аэрокосмического объединения «Полет». А потом, как и Ферма в свое время, погрузился в юриспруденцию. Но для Пьера она была куском хлеба, а для Ильина — делом чести.
Защищал он в Октябрьском райсуде, а затем в областном и Верховном свое доброе имя от клеветы. Александра Ивановича и его зама руководство ПО «Полет» обвиняло в присвоении миллиона 159 тысяч долларов. Эта сумма куда-то запропастилась при продаже немецкой фирме ракеты-носителя. Предъявлялись суду платежки, на которых подписи Ильина оказались грубо подделанными. Очевидный факт своей невиновности академик доказывал больше двух лет (на великую теорему Ферма у него ушло две недели). Зам не дожил до их оправдания — сдало сердце. И когда был отменен приговор, Ильин сам затеял судебную тяжбу: подал иск, в котором потребовал возместить моральный ущерб ему и семье его заместителя. А еще попросил у суда разыскать пропавшую сумму, подняв банковские счета. Это проще, чем доказать теорему.
Но, по мнению Александра Ивановича, у задачи этой еще меньше шансов на решение в нынешнем веке, потому что оно затрагивает слишком уж высокие степени. А серьезные люди в мантиях не хотят разделить судьбу ферматистов. Оценили судьи ущерб, причиненный Ильину клеветой, в 1500 рублей, а вдове его заместителя в иске было и вовсе отказано… Устав от судебных перипетий, взялся академик — для просветления взыскующей души и ума — за теорему Ферма…
И вот на прошлой неделе собрал он у себя дома ученых и представителей местных СМИ. И на прикрепленных к стене двух листах ватмана написал то, что не уместилось на полях монографии Диофанта.
Ильин сопоставил теорему Ферма с теоремой Пифагора, затем представил все переменные в виде сторон треугольника, поскольку составить могут его три произвольных числа. А соотношения их выражаются тригонометрическими функциями, что известно всякому школьнику. Ими мог оперировать и Ферма. Ильину хватило для доказательства только двух: синуса и косинуса. Из его решения следует, что если оба неизвестных числа в левой части формулы — целые, то при возведении их в степень большую, чем вторая, в правой — всегда число иррациональное.
Внимательно следившие за процессом омские профессора сказали, что доказательство, на их взгляд, сомнений не вызывает. Правда, никто из присутствовавших не считает себя специалистом именно в теории чисел, поэтому надо дождаться решения высоких инстанций. Свою работу академик намерен представить в Российскую академию самолетостроения. А что потом — будет видно… Кстати, Геттингенское общество принимает доказательства теоремы до 2007 года включительно. Так что время у Ильина еще есть.
Советую тем, кто вовсе не чужд математики, проверить выкладки Ильина наедине с бумажным листом. Возможно, это потребует от вас некоторого напряжения, но оно будет вознаграждено, возможно, вы станете свидетелями рождения чуда.
Итак, требуется доказать, что если X и Y — целые числа в уравнении Xn + Yn = Zn, то Z, при n больше 2, — всегда не целое. Прежде чем браться за Ферма, повторим теорему Пифагора: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Мы вправе для ее написания использовать любые переменные. Запишем ее таким образом: X2 + Y2 = R2, где X, Y, R — целые числа, а Z, утверждает Ферма, — не целое. Попробуем доказать. Понятно, Z не равно R при одних и тех же X, Y. Легкодоказуемо алгебраически, да и просто логически, что Z всегда меньше, чем R. Когда мы возводим X и Y в более высокую степень, то умножаем их на самих себя. Потом их складываем и получаем Z в той же степени n. А при возведении в нее R каждое из слагаемых надо умножить на R, которое больше, чем X и Y.
К примеру, R3 = (X2 + Y2)R = X2R+Y2R.
Что делает Ильин? Ничего особенного. Записывает длины сторон треугольника XYR в тригонометрическом виде: X = R sin A, Y = R cos A. А значит, Zn = Xn + Yn = Rn (sin A + cos A). Что такое корень, вы не забыли?
Отлично. Z = R Ўsin A + cos A. Ранее мы доказали, что Z всегда меньше R, стало быть, sin A + cos A < 1. Такую тригонометрическую функцию можно найти в любом учебнике математики старших классов и убедиться по графику или таблице, что если значение функции < 1, то угол A больше 60 и меньше 90 градусов. А что произойдет в этом случае с прямым углом В, находящимся между катетами? Он больше уже не будет прямым и окажется в тех же пределах: 60o < B < 90o. Недаром ведь «девяносто, шестьдесят, девяносто» считается идеалом гармонии. Это глупая шутка, чтобы вы немного расслабились. Потому что мы уже близки к финишу. Любой десятиклассник, у которого по математике выше тройки, с ходу воспроизведет вам формулу соотношения сторон треугольника Z2 = X2 + Y2 — 2 XY cos B. Рассмотрим выражение. При 60o < B < 90o cos B — число не целое. А значит, и Z неминуемо является таковым при целых значениях X и Y. Что и требовалось доказать."
|
