Родился 1 января 1946 года в г. Клевань-1 Ровенской области Украинской ССР. В 1970 году окончил Днепропетровский инженерно-строительный институт по специальности "инженер-механик". В 1984 году окончил Ленинградскую Высшую партийную школу.
1963 - 1970 гг. - электрослесарь, наладчик сборочного цеха электровозоремонтного завода (г. Запорожье, Украинская ССР).
1970 - 1972 гг. - служил в Советской Армии.
1972 - 1974 гг. - прораб НИИ строительного производства (г. Запорожье, Украинская ССР).
В 1974 году работал на строительстве Ковдорского горнообогатительного комбината: механик, прораб, старший прораб треста "Ковдорстрой".
1974 - 1984 гг. - работал в Кировском горкоме КПСС Мурманской области (инструктор, секретарь, второй секретарь).
1984 - 1990 гг. - заведующий отделом строительства, секретарь Мурманского обкома КПСС.
1990 - 1993 гг. - председателем Мурманского облисполкома.
1993 - 1996 гг. - генеральный директор Мурманского филиала АФК "Система".
В декабре 1995 года баллотировался в Государственную Думу ФС РФ второго созыва в составе федерального списка избирательного объединения
"Конгресс русских общин". На выборах КРО не преодолел 5-процентный барьер и не прошел в ГД.
1 декабря 1996 года избран на пост главы администрации Мурманской области. Одержал победу во втором туре, получив 44% голосов избирателей.
В ходе предвыборной кампании Евдокимов был поддержан Конгрессом русских общин, движением "Честь и Родина", Российским союзом промышленников и предпринимателей.
Вошел в состав Совета Федерации второго созыва. Член Комитета СФ по вопросам экономической ¦политики.
В 1997 - 1998 гг. входил в Совет директоров РАО "Норильский никель".
В ноябре 1998 года вошел в Оргкомитет движения "Отечество" (лидер Юрий Лужков), стал сопредседателем Мурманского регионального отделения "Отечества".
26 марта 2000 года переизбран на пост главы администрации Мурманской области. За Евдокимова уже в первом туре проголосовали более 86% избирателей.
Входил в Совет Федерации ФС РФ, был членом Комитета по вопросам экономической политики.
Председатель мурманского Союза промышленников и предпринимателей. Член правления Российского союза промышленников и предпринимателей. Председатель регионального Совета Баренцева Евро-Арктического региона. Председатель Детского фонда Мурманской области.
Награжден орденом "Знак Почета", личным именным оружием от министра внутренних дел. Автор двух изобретений.